поЯвилась - Явный
дАвно - дАвний
служИла - это ЖИ, ШИ, проверять не надо
телеШках - правильно телеЖка, проверочное слово телеЖек (нужно подобрать однокоренное слово, чтобы в нём после проверяемого парного согласного был гласный звук)
достАвляли - достАвка
рАбочие - рАб
изготОвлялись - готОв
Чтобы проверить безударные проверяемые гласные в корне, надо подобрать однокоренные слова, в которых этот звук будет под ударением.