1. Река имеет определённый тип питания (дождевое, снеговое, ледниковое) , который самым прямым образом зависит от климата. Если это Амазонка, то у неё никогда не будет снегового питания, правда?
2. Режим реки, то есть периоды половодья и межени, полностью определяется климатом в её бассейне. Идут в бассейне Замбези дожди (это субэкваториальный климат Южного полушария) - река разливается, не идут дожди - мелеет.
3. На полноводность реки влияют породы, окружающие и подстилающие долину. А причём здесь климат, спросите Вы.. . Так северные реки, текущие по областям многолетней мерзлоты, могут быть очень полноводны как раз потому, что мерзлота является водоупором. Примеры: Енисей, Лена.
Исходя из этих причин, великий климатолог Воейков назвал реки продуктом климата. Он знал, о чём говорил.
Ps: честно говоря, это не мой ответ, но вот как-то так)