Корень из 1+sinx + cosx=0

Корень может быть равным нулю в единственном случае, когда подкоренное выражение равно нулю
1+sinx+cosx=0
Решим методом вспомогательного угла
Разделим обе части на корень из двух
$sin(x+ \frac{ \pi }{4})=- \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$x= -1^{n+1} \frac{ \pi }{4}- \frac{ \pi }{4}+ \pi n$
n-целые числа.