Сколько нулей после запятой (до первого отличного от нуля десятичного знака) имеет...

Пусть десятичная запись числа $a=10^{10^{-10}}$ имеет вид $1,00...0m...,$ где $m\neq 0, \,\,\,\,\,\,n=00...0$ Тогда

$1 + 10^{-n-1} < a < 1+10^{-n}$
Откуда получаем

$\lg (1+10^{-n-1})<\lg a=10^{-10}<\lg (1+10^-^n})$

Используем неравенства $x-0.5\cdot x^2 < \ln(1+x) < x$ при $0 < x < 1$ ( для доказательства их достаточно исследовать с помощью производной на промежутке (0;1) функции $f(x)=\ln (1+x)-x+0.5x^2$ и $g(x)=\ln (1+x)-x$