Вопрос в картинках...

$( \sqrt{2+ \sqrt{3} } )^x+(\sqrt{2- \sqrt{3}})^x=4 \\ \\ (2+ \sqrt{3} )^{ \frac{1}{2} x}+(2-\sqrt{3})^{ \frac{1}{2} x}=4$

Видим, что $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=1$ , тогда $\sqrt{2-\sqrt{3}}= \frac{1}{2+\sqrt{3}}$ , имеем:
$( \sqrt{2+\sqrt{3}})^x+( \frac{1}{ \sqrt{2+\sqrt{3}} } )^x=4$
Пусть $( \sqrt{2+\sqrt{3}})^x=t$ , тогда получаем
$t+ \frac{1}{t} =4|\cdot t \\ t^2-4t+1=0 \\ D=b^2-4ac=16-4=12 \\ t_1_,_2=2\pm\sqrt{3}$

Возвращаемся к замене

$( \sqrt{2+\sqrt{3}})^x=2+\sqrt{3} \\ \frac{1}{2} x=1 \\ x_1=2 \\ \\ ( \sqrt{2+\sqrt{3}})^x=2-\sqrt{3} \\ - \frac{1}{2} x=1 \\ x_2=-2$

Ответ: $\pm 2$