Помогите доказать тождество

Что нам понадобится:
1) $cos^{2}( \frac{x}{2})= \frac{1+cosx}{2}$
2) $cos( \frac{ \pi }{2}- \alpha )= sin \alpha$

Преобразуем левую часть:
$2cos^{2}( \frac{ \pi }{4}-\frac{ \alpha }{2})=2cos^{2}(\frac{1}{2}*(\frac{ \pi }{2}- \alpha))$

Заменим $\frac{ \pi }{2}- \alpha=x$ , тогда:

$2cos^{2}(\frac{1}{2}*x)=2* \frac{1+cosx}{2}=1+cosx$

Вернемся обратно к замене, получим:
$1+cos(\frac{ \pi }{2}- \alpha)=1+sin \alpha$ - что равно правой части.

Тождество доказано.