Задача на максимум и минимум : Число 54 представьте в виде суммы трех положительных...

Пусть первое число равно 3а,тогда второе равно а,третье число равно b

Тогда имеет место система:

\left \{ {{4a+b=54} \atop {3a^2b=max}} \right" alt="\left \{ {{4a+b=54} \atop {3a^2b=max}} \right" align="absmiddle" class="latex-formula">

$b=54-4a$

$3a^2(54-4a)=-12a^3+162a^2$

По условию функция вида $f(x)=-12a^3+162a^2$

Должна принимать максимальное значение на области определения:

$a \in (0;54)$

Рассмотрим эту функцию:

$f(x)=-12a^3+162a^2=12a^2(-a+13,5)$

Очевидно,что она принмает положительные значения на интервале:

$a \in (0;13,5)$

В точке,где функция принимает максимальное значения касательная к функции есть константа вида $f_{kas}=C,C=const$

То есть тангенс угла наклона касательной равен нулю:

$tg\alpha=f'(a_0)=-36a_{0}^2+324a_0=0$

$a_0$ точка касания

$a_0_1=0;a_0_2=9$

Первая точка не подходит по условию задачи,значит

а=9,3a=27,b=54-4*9=18

Задача ** максимум и минимум : Число 54 представьте в виде суммы трех положительных...