Согласно формуле сложения гармонических колебаний
sin x + √3 * cos x = 2 * sin (x + π/3)
Тогда уравнение принимает вид
sin (x+π/3) = 8 - 7 * a - 2 * a² = 14,125 - (6,125 + 7 * a + 2 * a²) =
14,125 - 2 * (a² +3,5 * a + 3,0625) = 14,125 - 2 * (a + 1,75)²
Поскольку значение синуса лежит в пределах от -1 до 1, то
-1 ≤ 14,125 - 2 * (a + 1,75)² ≤ 1 , откуда
6,5625 ≤ (a + 1,75)² ≤ 7,5625
Итак, √6,5625 ≤ а + 1,75 ≤ 2,75 или -2,75 ≤ а + 1,75 ≤ -√6,5625 . Тогда
√6,5625 - 1,75 ≤ а ≤ 1 или -4,5 ≤ а ≤ -√6,5625 - 1,75
Следовательно, минимальное значение параметра, при котором уравнение имеет решение а = -4,5