Попробуем угадать формулу S(n) = 1 * 3 + 2 * 4 + 3 * 5 + ... + n * (n + 2). Понятно, что сумма - многочлен, притом не более чем третьей степени.
Положим S(n) = an^3 + bn^2 + cn + d
S(1) = a + b + c + d = 3
S(2) = 8a + 4b + 2c + d = 3 + 8 = 11
S(3) = 27a + 9b + 3c + d = 11 + 15 = 26
S(4) = 64a + 16b + 4c + d = 26 + 24 = 50
a + b + c + d = 3
8a + 4b + 2c + d = 11
27a + 9b + 3c + d = 26
64a + 16b + 4c + d = 50
Вычитаем первое уравнение из оставшихся.
7a + 3b + c = 8
26a + 8b + 2c = 23
63a + 15b + 3c = 47
Вычитаем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего - утроенное.
12a + 2b = 7
42a + 6b = 23
6a + b = 7/2
7a + b = 23/6
Вычитаем из второго уравнения первого, получаем
a = 23/6 - 7/2 = 1/3
Тогда
b = 7/2 - 6a = 7/2 - 2 = 3/2
c = 8 - 7a - 3b = 8 - 7/3 - 9/2 = 7/6
d = 3 - a - b - c = 3 - 1/3 - 3/2 - 7/6 = 0
(?) S(n) = (2n^3 + 9n^2 + 7n)/6
Проверяем:
S(1) = (2 + 9 + 7)/6 = 3
S(2) = (16 + 36 + 14)/6 = 11
S(3) = (54 + 81 + 21)/6 = 26
S(4) = (128 + 144 + 28)/6 = 50
Вроде совпадает. Проверяем по индукции.
База уже проверена.
Переход: Пусть S(n) = (2n^3 + 9n^2 + 7n)/6. Найдем S(n+1).
S(n + 1) = (2n^3 + 9n^2 + 7n)/6 + (n + 1) * (n + 3) = (2n^3 + 9n^2 + 7n + 6n^2 + 24n + 18)/6 = (2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 9(n^2 + 2n + 1) + 7(n + 1))/6 = (2(n + 1)^3 + 9(n + 1)^2 + 7(n + 1))/6, чтд.
___________________________
Решение станет проще, если сразу вспомнить две формулы:
1 + 2 + ,,, + n = n(n + 1)/2
1 + 4 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
Тогда
1 * 3 + 2 * 4 + ... + n(n + 2) = (1 + 2 + ... + n^2) + 2(1 + 2 + ... + n) = n(n + 1) * [(2n + 1)/6 + 2 * 1/2] = n(n + 1)(2n + 7) / 6 - как и было получено ранее.
____________________________
S(15) = 15 * 16 * 37 / 6 = 5 * 8 * 37 = 40 * 37 = 1480