Нужна запятая перед И- Свои стихи Есенин читал слегка распевно, и везде ... (сложное предложение, состоит из 2-х грамматических основ)
Есенина любили все, кто соприкасался с его искренней, честной поэзией. (сложноподчиненное предложение)
Любят Есенина и сейчас, чувствуя ..... (придаточное причины)
2. Напечатал (где?) в журнале - обстоятельство места (точка-тире ._._)
читал (как?) распевно (обстоятельство образа действия ._._)
читал распевно (в какой степени) слегка (обст. степени)
3 Дано по ходу разбора.
4. Название стиха и журнала