План решения такой: в каждом примере сначала проверяем, при каких условиях выражение под корнем не отрицательно, затем решаем уравнение избавляясь от корня путем возведения всего выражения в квадрат, затем проверяем, чтобы решение удовлетворяло условию неотрицательности выражения под корнем.
Итак
1) √(x+1)=3
x+1≥0 или x≥-1
возводим уравнение в квадрат: х+1=9
х=8
8≥-1
Ответ: 8
2) √(2x+3)=x
2х+3≥0 , откуда х≥-1,5
Кроме того, выражение √(2x+3) всегда ≥0 поэтому х≥0
возводим в квадрат 2х+3=х²
x²-2x-3=0
D=2²+4*3=4+12=16
√D=4
x₁=(2-4)/2=-1<0 - не удовлетворяет условию х≥0, отбрасываем<br>х₂=(2+4)/2=3
Ответ: 3
3) √(-4x²-16)=2
-4x²-16≥0
4х²≤-16
решения нет
4) x+1=√(8-4x)
8-4x≥0
4х≤8
x≤2
кроме того, x+1≥0
х≥-1
Итого -1≤х≤2
возводим в квадрат
(x+1)²=8-4x
x²+2x+1=8-4x
x²+6x-7=0
D=6²+4*7=36+28=64
√D=8
x₁=(-6-8)/2=-7<0 - не удовлетворяет условию -1≤х≤2, отбрасываем<br>х₂=(-6+8)/2=1
Ответ: 1
5) √(2x)+ √(x-3)=-1
√(2x)≥0 и √(x-3)≥0, поэтому их сумма всегда ≥0
решения нет
6)√(x+17)- √(x+1)=2
x+1≥0 x≥-1
кроме того, ясно что √(x+17)>√(x+1), поэтому дополнительных проверок не требуется
возводим в квадрат
x+17-2√((x+17)(x+1))+x+1=4
2x+18-4=2√((x+17)(x+1))
x+7=√((x+17)(x+1))
понятно, что при x≥-1 x+7>0, поэтому дополнительных условий не требуется, снова возводим в квадрат
(x+7)²=(x+17)(x+1)
x²-14x+49=x²+x+17x+17
x²-14x+49=x²+18x+17
32=4x
x=8
Ответ: 8
7) √(1-2x)- √(13+x)= √(x+4)
1-2x≥0 x≤0,5
x+4≥0 x≥-4 (в этим случае 13+x >0)
1-2x≥13+x 3x≤-12 x≤-4
эти условия выполняются только в точке х=-4
Проверим, является эта точка решением уравнения.
√(-1-2(-4))-√(13-4)=√(-4+4)
√(-1+8)-√7=0
√7-√7=0
Да х=-4 является корнем уравнения
Ответ: -4
8) √(3-x√(x+4))= √6
x<0<br>x+4≥0 x≥-4
Итого -4≤х<0<br>возводим в квадрат
3-x√(x+4)= 6
x√(x+4)=-3
x²(x+4)=9
x³+4x²-9=0
(x+3)(x²+x-3)=0
x₁=-3
x²+x-3=0
D=1²+4*3=1+12=13
√D=√13
x₂=(-1-√13)/2
x₃=(-1+√13)/2>0 отбрасываем
Ответ: -3 и (-1-√13)/2
9) √(5+ √(x-1))=3
x-1≥0 х≥1
возводим в квадрат
5+ √(x-1)=9
√(х-1)=4
еще раз возводим в квадрат
x-1=16
x=17
Ответ: 17
10) √(√(x+13))= √(17-3√x)
x+13≥0 x≥-13
x≥017-3√x≥0
3√x≤17
√x≤17/3
x≤(17/3)²=289/9=32 1/9
возводим в квадрат
√(x+13)= 17-3√x
возводим в квадрат
х+13=289-102√x+9x
8x-102√x+276=0
4x-51√x+138=0
y=√x y≥0
4y²-51y+138=0
D=51²-4*4*138=393
y₁=(51-√393)/8 x₁=((51-√393)/8)²≈15
y₂=(51+√393)/8 x₂=√((51+√393)/8)²≈78 >32 1/9 - отбрасываем
x₁=((51-√393)/8)²=(51²-102√393+393)/64=(2994-102√393)/64= (1497-51√393)/32
Ответ: (1497-51√393)/32