Высоты остроугольного треугольника ABC, про-веденные из вершин A и B, пересекаются в...

Question

Высоты остроугольного треугольника ABC, про-
веденные из вершин A и B, пересекаются в точке H, при-
чем ∠AHB = 120◦, а биссектрисы, проведенные из вершин B
и C, в точке K, причем ∠BKC = 130◦. Найдите угол ABC.

Answer 1

Пусть АА₁ и ВВ₁ - высоты, ВВ₂ и СС₁ - биссектрисы.

1. Рассмотрим ΔВНА₁, <НА₁В=90°.</p>

<ВНА₁=180°-120°=60°</p>

<НВА₁</strong>=90°-60°=30° 

2. Рассмотрим ΔВКС

<КВС+<КСВ=180°-130°=50°</p>

3. <В+<С=2·50°=100°</p>

<А=180°-100°=80°</p>

4. Рассмотрим ΔАВ₁В, <АВ₁В=90°.</p>

<В₁ВА</strong>=90°-80°=10°

5. <АВС=<НВА₁+<В₁ВА=30°+10°=40°</p>

Ответ. 40°