Правило:
При сочетании приставки, оканчивающейся на согласный, с корнем или с другой приставкой, которые начинаются с и, пишется, согласно c произношением, по общему правилу ы.
Но пишется и:
1. В словах с приставками меж- и сверх-, например: межирригационный, сверхизысканный.
2. В словах с иноязычными приставками и частицами: пан-, суб-, транс-, контр- и т. п., например: панисламизм, субинспектор, Трансиордания, контригра.
Решение:
Безыдейность, взымать, дезинформация, небезызвестный, постимпрессионистский, взыскать, предыдущий, сверхизысканный, спортигра, сыздавна, сызмала, фининспектор, безинициативный, обыгранный, дезинфекция, спортинвентарь.