Покажите, как косинус двойного угла преобразуется в следующую:

Очень просто:
$\frac{cos2 \alpha }{1}= \frac{cos ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha +sin ^{2} \alpha } =$
Делим числитель и знаменатель на сos²α
$= \frac{ \frac{cos ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha} - \frac{sin ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha} }{\frac{cos ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha} + \frac{sin ^{2} \alpha }{cos ^{2} \alpha} } = \frac{1-tg ^{2} \alpha }{1+tg ^{2} \alpha }$