Очевидно, что могло остаться три рукопожатия. Например, А, В, С не пожалидруг другу руки, а D пожал руки всем троим. Покажем, что больше трёх не моглооставаться рукопожатий для любого числа друзей. Пусть А и В к данному моменту не пожали друг другу руки. Среди остальныхдрузей нет пары С и D, которая бы не сделала рукопожатия, так как в противномслучае среди четырёх друзей А, В, С и D не нашлось бы того, кто пожал руки трёмостальным. По той же причине среди остальных друзей нет и такой пары С и D, каждый из которых не совершил бы рукопожатия либо с А, либо с В. Но одинчеловек, который не пожал руку А или В или обоим, может оказаться (см. примервыше). Поэтому осталось сделать не более трёх рукопожатий.