РЕШЕНИЕ
преобразуем
6^x=y^2+y-2
6^x+2=y^2+y
разберемся с Х
Х не может бать отрицательным -иначе СЛЕВА будет выражение с дробью
а СПРАВА всегда целое число т.к. по условию Y целые числа
значит Х может быть 0 или положительные числа
при Х=0 слева результат 6^0+2=1+2=3
при Х > 0 слева всегда число с последней цифрой 6+2=8,
т.к. 6 в положительной степени в конце числа дает всегда цифру 6
ВОЗМОЖНЫЕ ОКОНЧАНИЯ слева -цифры 3 или 8
теперь правая часть
Y <0</p>
рассмотрим возможные варианты последней цифры
y=-1 последняя цифра (-1)^2-1=0
y=-2 последняя цифра (-2)^2-2=2
y=-3 последняя цифра (-3)^2-3=6
y=-4 последняя цифра (-4)^2-4=2
y=-5 последняя цифра (-5)^2-5=0
y=-6 последняя цифра (-6)^2-6=0
y=-7 последняя цифра (-7)^2-7=2
y=-8 последняя цифра (-8)^2-8=6
y=-9 последняя цифра (-9)^2-9=2
дальше повторение
Y=0 последняя цифра (0)^2-0=0
Y >0
рассмотрим возможные варианты последней цифры
y=1 последняя цифра (1)^2+1=2
y=2 последняя цифра (2)^2+2=6
y=3 последняя цифра (3)^2+3=2
y=4 последняя цифра (4)^2+4=0
y=5 последняя цифра (5)^2+5=0
y=6 последняя цифра (6)^2+6=2
y=7 последняя цифра (7)^2+7=6
y=8 последняя цифра (8)^2+8=2
y=9 последняя цифра (9)^2+9=0
дальше повторение
ВОЗМОЖНЫЕ ОКОНЧАНИЯ справа -цифры 0 или 2 или 6
нет совпадений ПРАВОЙ и ЛЕВОЙ части по последней цифре
ОТВЕТ уравнение не имеет ни одной пары целочисленных корней