Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" :) Дана...

Question

45 просмотров

Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" :)

Дана последовательность натуральных чисел $x_1,\ x_2,\ \dots$ , причем $2013^{2012}\leqslant x_1\leqslant2012^{2013}$ , x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула

$x_{n+1}=x_n+y_n,$ где $y_n$ - последняя цифра числа $x_n$ .

Доказать, что среди членов последовательности $x_n$ бесконечно много степеней двойки.

Алгебра nelle987_zn (148k баллов) 18 Фев, 18 | 45 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

По условию посдедняя цифпа числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8

Так как ..2+2=...4;

...4+4=..8

..6+6=...2

...8+8...=6

то последовательность y2, y3,y4, .... является периодичной с периодом 4.

Поэтому для любого n>1 $a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20$

а для любого t>1 $a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t$

Любое число 2" alt="a_n, n>2" align="absmiddle" class="latex-formula"> получается имеет вид

$a_n=10m+2$ либо $a_n=10m+4$ либо $a_n=10m+6$ либо $a_n=10m+8$ где m -некоторое неотрицательное целое число

С двух членов последовательности $a_n=10m+2$ и $a_{n+1}=10m+4$ хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде

a_n=4l

Тогда $a_{n+4t}=4(l+5t)$

Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют переодическую последовательность 1,2,4,3,1, ... и значит , бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l

dtnth_zn (409k баллов) 18 Фев, 18