Решить уравнение 4cos^2x+4sinx-1=0

4cos²x+4sinx-1=0

4(1-sin²x)+4sinx-1=0
4-4sin²x+4sinx-1=0

-4sin²x+4sinx+3 = 0 |*(-1)

4sin²x-4sinx-3=0

Пусть sin x = t ( |t|≤1), тогда имеем

$4t^2-4t-3=0 \\ a=4;b=-4;c=-3 \\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*(-3)=16+48=64 \\ \sqrt{D}=8 \\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{4+8}{2*4} = \frac{12}{8} =1.5 \\ t_2=\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{4-8}{2*4}=- \frac{1}{2}$

t₁ = 1.5 - не удовлетворяет условию при |t|≤1

Обратная замена

$sin x = -\frac{1}{2} \\ x=(-1)^k*arcsin(-\frac{1}{2} )+ \pi k \\ x=(-1)^k^+^1* \frac{ \pi }{6} + \pi k$

Ответ: $(-1)^k^+^1* \frac{ \pi }{6} + \pi k$ .