В ящике 15 деталей, из них 8 окрашены в синий цвет, остальные - в красный. найти...

Т.к. порядок извлечения деталей безразличен, будем считать их выбор неупорядоченным и бесповторным.
Общее число элементарных исходов n равно числу способов выбрать 5 деталей из 15, т.е. число сочетаний $C_{15}^5$ .
Число благоприятствующих исходов m равно числу способов выбора 5 красных деталей из имеющихся 7, т.е. $C_7^5$ .
Тогда искомая вероятность
$P(A)=\frac{C_7^5}{C_{15}^5}=(\frac{7!}{2!5!}):(\frac{15!}{5!10!})= \\ \\ =(\frac{1*2*3*4*5*6*7}{1*2*1*2*3*4*5}):(\frac{1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15}{1*2*3*4*5*1*2*3*4*5*6*7*8*9*10})= \\ \\ =(\frac{6*7}{1*2}):(\frac{11*12*13*14*15}{1*2*3*4*5})=(\frac{42}{2}):(\frac{11*13*7*3}{1})= \\ \\ =\frac{21}{3*7*11*13} =\frac{1}{11*13} = \frac{1}{143}=0,00699$

Найдем вероятность того, что среди выбранных 5 деталей 3 красных:
$P(3)= \frac{C_7^3C_8^2}{C_{15}^5} \\ \\ C_7^3= \frac{7!}{3!4!} = \frac{1*2*3*4*5*6*7}{1*2*3*1*2*3*4} =\frac{5*7}{1} =35 \\ \\ C_8^2= \frac{8!}{2!6!} = \frac{1*2*3*4*5*6*7*8}{1*2*1*2*3*4*5*6} =\frac{7*8}{1*2} =28 \\ \\ C_{15}^5= \frac{15!}{5!10!} = \frac{1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15}{1*2*3*4*5*1*2*3*4*5*6*7*8*9*10}=\frac{11*12*13*14}{1*2*4}=3003 \\ \\ P(3)= \frac{35*28}{3003}= \frac{980}{3003} =0,326$