Точки M и N - середины соседних сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые...

Пусть P = точка пересечения AM и BD; Q точка пересечения AN и BD

заметим что APD подобен MPB. и из подобия AP = 2PM; (соответственно AP = $\frac{2*AM}{3}$ )
аналогично из подобия ABQ и NQD, AQ = 2QN. AQ = $\frac{2*AN}{3}$

Вектор AP = $\frac{2AM}{3} = \frac{2}{3} * ( \frac{AB+AC}{2} ) = \frac{AB+AB+BC}{3} = \frac{2*AB+AC}{3}$

Вектор AQ = $\frac{2*AN}{3} = \frac{2}{3} * \frac{AC+AD}{2} = \frac{AB+BC+BC}{3} = \frac{AB+2BC}{3}$
(воспользовались тем, что вектор AD = вектору BC)

теперь вычислим вектора BP, PQ, QD увидим что одинаковы

BP = AP-AB = $\frac{2AB+BC}{3} - AB = \frac{BC-AB}{3}$
PQ = AQ-AP = $\frac{AB+2BC}{3} - \frac{2AB+BC}{3} = \frac{BC-AB}{3}$
QD = AD-AQ = BC-AQ = $BC - \frac{(AB+2BC)}{3} = \frac{BC-AB}{3}$