9 класс, помогите, пожалуйста(Пятый и шестой номер.

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$5. \ x^{-4} - 5x^{-2} + 4 = 0$

Произведём замену переменной:

$t = x^{-2}\\\\ t^2 - 5t + 4 = 0$

Используем формулы Виета:

$t_1 + t_2 = 5 = 1 + 4\\\\ t_1*t_2 = 4 = 1*4\\\\ t_1 = x^{-2} = 1, \ x = \pm1\\\\ t_2 = x^{-2} = 4, \ x = \pm\frac{1}{2}$

$\mathbb{OTBET:} \ x_1 = 1, \ x_2 = -1, \ x_3 = \frac{1}{2}, \ x_4 = -\frac{1}{2}$

(\frac{25}{4})^{-1}\\\\ (3x - 1)^{-2} - \frac{4}{25} > 0\\\\ \frac{25}{25(3x - 1)^2} - \frac{4(3x - 1)^2}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\ \frac{25 - 4(3x - 1)^2}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\ \left[ \ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \ \right] \\\\\frac{(5 - 2(3x -1))(5 + 2(3x - 1))}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\\frac{(7 - 6x)(3 + 6x)}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\ \frac{(7 - 6x)3(1 + 2x)}{25(3x - 1)^2} > 0" alt="6. \ (3x - 1)^{-2} > (\frac{25}{4})^{-1}\\\\ (3x - 1)^{-2} - \frac{4}{25} > 0\\\\ \frac{25}{25(3x - 1)^2} - \frac{4(3x - 1)^2}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\ \frac{25 - 4(3x - 1)^2}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\ \left[ \ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \ \right] \\\\\frac{(5 - 2(3x -1))(5 + 2(3x - 1))}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\\frac{(7 - 6x)(3 + 6x)}{25(3x - 1)^2} > 0\\\\ \frac{(7 - 6x)3(1 + 2x)}{25(3x - 1)^2} > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

От постоянных множителей можно избавиться. Получим:

0" alt="\frac{(7 - 6x)(1+2x)}{(3x - 1)^2} > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Решим методом интервалов:

$3x - 1 \ne 0, \ 3x \ne 1, \ x \ne \frac{1}{3}\\\\ 7 - 6x = 0, \ -6x = -7, \ x = \frac{7}{6}\\\\ 1 + 2x = 0, \ 2x = -1, \ x = -\frac{1}{2}\\\\ ? \ ? \ ? \ [-\frac{1}{2}] \ ? \ ? \ ? \ (\frac{1}{3}) \ ? \ ? \ ? \ [\frac{7}{6}] \ ? \ ? \ ?$

Проверим значение функции на каком-нибудь интервале:

0" alt="\frac{(7 - 6*0)(1+2*0)}{(3*0 - 1)^2} = 7 > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Следовательно (т.к. в знаменателе чётная степень, то знак при переходе через точку разрыва не меняется):

$--- [-\frac{1}{2}] +++ (\frac{1}{3}) +++ [\frac{7}{6}] ---$

$\mathbb{OTBET:} \ x \in (-\frac{1}{2};\frac{1}{3}) \ \cup \ (\frac{1}{3}; \frac{7}{6})$

Voxman_zn (8.8k баллов) 22 Март, 18