А1) Является ли функции F(x)=4+cos⁡x первообразной для функции f(x)=sin⁡x ** промежутке...

Question

117 просмотров

А1) Является ли функции F(x)=4+cos⁡x первообразной для функции f(x)=sin⁡x на промежутке (-∞ ;+∞)
А2) найдите одну из первообразных для функции f(x)=x-7 на R A3) найдите общий вид первообразной для функции f(x)=1/5 x^3-2/3 x^2-12x-2 А4) дана первообразная функция F(x)=11/21 ctgx-12 cos⁡x+5 . Найдите f(x)
В1) для функции f(x)=3+х^2 . найдите первообразную , график которой проходит через данную точку М(1;6)
В2) пусть F(x)- первообразной функции у=х^2+3х . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции F(x) С1) докажите что функции F(x)=х^5+6х+sin⁡х на промежутке (-∞;+∞)

Алгебра аноним 21 Март, 18 | 117 просмотров

Дан 1 ответ

аноним · Answer 1 · 2018-03-21T19:54:45+0000

А1)
Найдем производную
F'(x)=(4+cosx)'=-sinx
F'(x)≠f(x)
Значит, функция F(x) не является первообразной для f(x)
Ответ: нет

А2)
F(x)=x²/2-7x+C - общий вид первообразной. Чтобы получить одну из них, достаточно взять вместо С любое число. Пусть С=1.
Ответ: F(x)=x²/2-7x+1

A3)
F(x)=1/5 * x⁴/4 - 2/3 x³/3 - 12 x²/2 - 2x=x⁴/20-2x³/9-6x²-2x

А4)
f(x)=F'(x)=(11/21 ctgx-12 cosx+5)'=11/21 (-1/sin²x) + 12sinx=12sinx-11/(21sin²x)

В1)
F(x)=3x+x³/3+C
Подставляем координаты точки М и находим С
6=3*1+1³/3+С
$C=6-3- \frac{1}{3} =2 \frac{2}{3}$
Ответ:
$3x+ \frac{x^3}{3}+2 \frac{2}{3}$

В2)
F(x)=x³/3+3x²/2+C
Поскольку F'(x)=х²+3х, то для нахождения точек экстремума приравняем ее 0
х²+3х=0
x(x+3)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Поэтому
x₁=0
x₂+3=0
x₂=-3
Определяем знаки интервалов
+ - +
---------------₀---------------₀---------------->
-3 0
В точке -3 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума
В точке 0 производная пеняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума
На промежутке (-∞;-3] и [0;∞) функция возрастает
На промежутке [-3;0] функция убывает

С1)
Найдем производную
F'(x)=(х⁵+3х²-cosх+17)'=5x⁴+sinx
F'(x)=f(x) для всех х∈(-∞;+∞)
Следовательно, F(x) есть первообразная для f(x). Что и требовалось доказать