ЧИСЛА ХY задовольняють нерівність ХY≥2 (довести що ( х-2 )^2 + (y+2)^ ≥ 8(ЧИСЛА ХУ...

Question

ЧИСЛА ХY задовольняють нерівність ХY≥2 (довести що ( х-2 )^2 + (y+2)^ ≥ 8
(ЧИСЛА ХУ удовлетворяют неравенство ХУ≥2 (доказать что ( х-2 )^2 + (y+2)^ ≥ 8

Answer 1

(x-2)²+(y+2)²≥8
Запишем разность левой и правой части и докажем, что она ≥0
(x-2)²+(y+2)²-8=x²-4x+4+y²+4y+4-8=x²+y²-4x+4y= (прибавим и вычтем 2xy) = y²-2xy+x²+4y-4x+2xy=(y-x)²+4(y-x)+2xy=(прибавим и вычтем 4)=(y-x)²+4(y-x)+4+2xy-4=(y-x+2)²+2(xy-2)  
 (y-x+2)²≥0, xy-2≥0, т.к. по условию xy≥2, значит (y-x+2)²+2(xy-2)≥0, а значит (x-2)²+(y+2)²≥8, что и требовалось доказать