Производимость труда рабочего задается формулой z(t)=0,5е^2+0,07t=0,5 найти величину...

$z(t)=0,5t^2+0,07t+0,5$
Проинтегрируем в пределах от 0 до 8 по t:
$\int\limits^8_0 {(0,5t^2+0,07t+0,5)} \, dt=\int\limits^8_0 {0,5t^2} \, dt+\int\limits^8_0 {0,07t} \, dt+\int\limits^8_0 {0,5} \, dt=\\=0,5(8^3-0^3)/3+0,07(8^2-0^2)/2+0,5(8-0)=91,57(3)$

Откуда взялись степени ;)
В общем случае:
$\int\limits^b_c {x^a} \, dx=(b^{a+1}-c^{a+1})/(a+1)$
$\int\limits^a_b \, dx=a-b$