Делится ли число A=1010101...01(n едениц) на число B = 111111...1(n едениц?)
N=1 A=1 B=1 все гуд число А делится нацело на число В пусть дальше в рассуждениях n>1 (воспользуемся дальше в рассуждениях свойствами геометрической прогрессии --формулой суммы а также формулой разности квадратов выражений) A=1+100+100 00+1 00 00 00...+1 00 00 00 00(2n-2 нулей)= B=1+10+100+1000+...+100000..00 (n-1 нулей)= отсюда видно, что а значит число А будет на число В НАЦЕЛО (!!!а так оно себе делится на число В --оно ведь не 0) если делится нацело на 11 Используя признак делимости на число 11: а именно, что число делится на 11 тогда и только тогда когда модуль разности между суммой цифр занимающих нечетные позиции и суммой цифр, занимающих четные позиции делится нацело на 11 при четном числе n получаем что две единицы на нечетном месте и возможно нули на четных и нечетных позициях(но нули не влияют при суммировании на итог суммы а+0=а) поэтому сумма на четных местах равна 2, на нечетных 0, модуль разности равен 2 , нацело на 11 не делится значит вариант четного числа n нас не устраивает при нечетном n получаем что одна единица на четном месте и одна на нечетном и возможно нули на четных и нечетных позициях, а значит сумма цифр на четных местах равна 1, на нечетных равна 1, модуль разности равен 0 и делится нацело на 11 значит нечетное число n нам подходит обьедияняя с тривиальным случаем n=1 получаем ответ: при любом нечетном натуральном n