Частица массы m движется в плоскости XY по окружности радиуса r. Для заданного положения...

Дан 1 ответ

1. Момент сил, действующий на точку в данный момент времени дается выражением:
$\vec M=[\vec r\times \vec F]$ .
С другой стороны,
$\vec F=m\vec a=m\frac{v^2}{r}\vec e_r+m\vec a_\tau$ .
Подставим второе уравнение в первое.
$\vec M = [\vec r\times(m\frac {v^2}{r}\vec e_r+m\vec a_{\tau})]$
Модуль момента легко определить из определения векторного произведения:
$|\vec M|=(mv^2+ma_\tau r)\cdot \sin \alpha$ , где α - угол между силой и радиус-вектором.
Нарисовав два ускорения, легко видеть, что они ортогональны (то есть, между ними прямой угол). Тогда мы в праве применять теорему Пифагора для треугольника ускорений.
$\sin \alpha = \frac{a_\tau}{\sqrt{\frac{v^4}{r^2}+{a_\tau}^2}}$
Осталось только подставить и получить ответ:
$\boxed{\vec M = m(v^2+a_\tau r)\cdot \frac{a_\tau}{\sqrt{\frac{v^4}{r^2+a_\tau^2}}}\cdot \vec e_\perp}$ (здесь последний множитель - орт, торчащий перпендикулярно из плоскости рисунка на нас).

2. Момент импульса определяется аналогичным образом:
$\vec L = [\vec r\times \vec p]$
Запишем импульс:
$\vec p = m\vec v$
Подставим его в определение момента импульса и получим ответ:
$\vec L = m\cdot [\vec r\times \vec v];\\ \boxed{|\vec L| = mvr\cdot \vec e_\perp}$

Dredo_zn (4.4k баллов) 20 Март, 18