Такое слегка туповатое решение, мне оно не очень нравится с эстетической точки зрения.
O - точка пересечения AD и BK, CH - высота к AB.
Ясно, что MD II CH II KN;
Поэтому AN/NH = AK/KC = 1; AN = NH = AB*2/5;
Получилось AH = AB*4/5; следовательно BH = AB/5;
Из условия следует, что BM = AB/10; то есть BM/BH = 1/2; BM = MH;
но BM/MH = BD/CD; то есть BD = CD;
Это означает (не больше, не меньше), что треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC; и AD - не только биссектриса, но и медиана, и высота.
Это не все чудеса этой задачи. Далее.
DM - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABD.
При этом BM = AB/10; AM= AB*9/10; откуда DM^2 = BM*AM = (AB^2)*9/100;
DM = AB*3/10 = 3*BM;
Прямоугольные треугольники BMD и ABD подобны.
Поэтому AD = 3*BD;
Поскольку O - точка пересечения медиан, то DO = AD/3 = BD;
это второе, и последнее чудо - прямоугольный треугольник OBD равнобедренный.
Это означает, что OD/OB = 1/√2; c учетом того, что OD = AD/3; BO = BK*2/3;
получается AD/BK = √2;