Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины

Question

Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины

Answer 1

Пусть ABC - треугольник, BM - медиана. Достроим его до параллелограмма ABCD так, что AB=CD; BC=AD. BD - диагональ, при этом BD=2BM. Предположим, что 2BM=BD>AB+BC. Так как BC=AD, из этого следует, что BD>AB+AD, но тогда для треугольника ABD не выполняется неравенство треугольника, противоречие. Значит, такого быть не может.

Comments

мы в школе еще не проходили параллелограмм...есть другие варианты?

---

Какой класс? Попробую поискать, но не факт, что найду, эту задачу решал только таким способом.

---

7 класс

---

Пусть ABC - треугольник, BM - медиана. Продлим отрезок BM за точку M и отметим точку D так, что BM=BD. Тогда треугольники ADM и BCM равны по 2 сторонам и углу между ними (вертикальные углы равны). Аналогично, треугольники ABM и CDM равны по 2 сторонам и углу между ними. Значит, AB=CD; BC=AD, дальше аналогично.

---

Фактически переписал решение, не используя слова "параллелограмм".

---

что значит дальше аналогично? можете пояснить?

---

можете написать дальше решение?

---

спасибо умным людям))