Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения...

Question

Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5:13. Найдите площадь трапеции если её высота равна 90см.

Answer 1

Диагонали равнобедренной трапеции равны и точкой пересечения делятся в отношении 5:13. Они же делят трапецию на два равновеликих ( при боковых сторонах) и два подобных треугольника ( при основаниях). 
Рассмотрим треугольник АВД ( можно и АСД, т.к. они равны).
АО - биссектриса этого треугольника. 
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. 
Следовательно, АВ:АД=ВО:ОД=5:13
Пусть коэффициент отношения сторон будет х.
Тогда АВ=5х,
АД=13 х. 
Угол АСВ равен уголу САД как накрестлежащий.
Но угол САД  равен углу САВ по условию.
Отсюда углы ВАС и ВСА равны, и треугольник АВС равнобедренный. АВ=ВС
Опустим высоту ВН.
Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, из который меньший равен полуразности оснований, а больший- их полусумме.
АН=(АД-ВС):2=4х
АВ=ВС=5х
Налицо «египетский» треугольник, и ВН  равно 3х, и х=30. (Можно проверить по т. Пифагора)
Тогда 3х=90, х=30 cм=3 дм
АД=390см=39 дм
, ВС=150=15 дм
Высоту ВН выразим в дм. ВН=9 дм
Площадь трапеции находим по классической формуле 
S=h*(a+b):2
S=9(15+39):2=243 дм ² ( или 24300 см ² )
------
[email protected]

---