Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром....

Так как по условию около трапеций можно описать окружность , то следовательно трапеций равнобедренная .
Проведем из точки $O$ -центра окружности радиус к хорде    $LM$ . Тогда угол $LTM=30а$ так как она опирается на ту же дугу что центральный угол $LOM$ который равен ее половине $60а$ , так как $OL=OM=2=LM$ правильный треугольник .
Заметим что $LS$ медиана    $KS=OS=1$ , треугольник $LSO$ прямоугольный, тогда $LS=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ .
По свойству хорд получаем
$TS*SM=KS*SM\\ TS*SM=3\\ SM=\sqrt{2^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{7}\\$
   $TS=\frac{3}{\sqrt{7}}$
$TL^2+\frac{9}{7}-2TL*\frac{3}{\sqrt{7}}cos30=3\\ TL=\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\\ S_{STL} = \frac{\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\frac{3}{\sqrt{7}}}{2}*\frac{1}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$