Выборы губернатора области назначены на июнь месяц.
Плеоназм. Июнь и так месяц, просто "на июнь".
В городе Ростове-на-Донупрошли выборы мэра города.Плеоназм. Ростов-на-Дону — понятно, что город. Уберите уточнение.
Сейчас мы заняты процессом строительства новых сооружений.
Плеоназм. Строительство — процесс, просто "строительством".
Когда охотник поднял глаза вверх, он увидел перед собой медведя.
Плеоназм. Поднять — уже вверх, просто "поднял".
Вы будете сдавать зачёт в декабре, ближе к маю.
Декабрь и май как-то не очень связаны между собой. Но, если честно, не могу понять, как исправить.
В связи с тем, что наши дети быстро усваивают материал, то нашими педагогами разработан интенсивный метод обучения.
Союз "если ... то", а не "что ... то", следует убрать "то".