Ещё Логарифмические уравнения ....

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\log_2^2x-\log_2x^8+x^2-8x=( \sqrt{4-x} )^4-23 \\\ \log_2^2x-8\log_2x+x^2-8x=(4-x)^2-23 \\\ \log_2^2x-8\log_2x+x^2-8x=x^2-8x+16-23 \\\ \log_2^2x-8\log_2x+7=0 \\\ (\log_2x-1)(\log_2x-7)=0 \\\ \log_2x=1; \ x=2^1=7 \\\ \log_2x=7; \ x=2^7=128$
При подстановке корня х=128 в исходное уравнение получим корень из отрицательного числа - посторонний корень.
Ответ: 2

$\ln( \frac{3x}{(3-x)(x+1)}- \frac{1}{x^2-2x-3})=2\ln \frac{(3-x)(x+1)}{3x+1} \\\ \ln \frac{-3x-1}{(x-3)(x+1)}}=\ln \frac{(3-x)^2(x+1)^2}{(3x+1)^2} \\\ \frac{-(3x+1)}{(x-3)(x+1)}}=\frac{(3-x)^2(x+1)^2}{(3x+1)^2} \\\ -(3x+1)^3=(x-3)^3(x+1)^3 \\\ -(3x+1)=(x-3)(x+1) \\\ -3x-1=x^2+x-3x-3 \\\ x^2+x-2=0 \\\ (x+2)(x-1)=0 \\\ x_1=-2; \ x_2=1 \\\ x_1+x_2=-2+1=-1$
Ответ: -1

$16^{\log_2^2x}+x^{\log_2x^4}-32=0 \\\ 2^{4\log_2x\log_2x}+x^{4\log_2x}-32=0 \\\ x^{4\log_22\log_2x}+x^{4\log_2x}-32=0 \\\ x^{4\log_2x}+x^{4\log_2x}-32=0 \\\ 2\cdot x^{4\log_2x}=32 \\\ x^{4\log_2x}=16 \\\ \log_2x^{4\log_2x}=\log_216 \\\ 4\log_2x\log_2x=4 \\\ \log_2^2x=1 \\\ \log_2x=1; \ x_1=2^1=2 \\\ \log_2x=-1; \ x_2=2^{-1}=0.5$
Ответ: 2 и 0,5

$\lg^2x^4+20\lg x^2=24 \\\ 4\lg^2x^2+20\lg x^2=24 \\\ \lg^2x^2+5\lg x^2-6=0 \\\ (\lg^2x^2+6)(\lg^2x^2-1)=0 \\\ \lg^2x^2=-6 \\\ x^2=10^{-6}; \ x=\pm 10^{-6}=\pm 0,001 \\\ \lg^2x^2=1 \\\ x^2=10^{1}; \ x=\pm \sqrt{10} \\\ x_{min}=- \sqrt{10}$
Ответ: $- \sqrt{10}$

$2^{\log_7x^3}-x^{\log_78}=x^3-6x^2+3x+10 \\\ 2^{3\log_7x}-8^{\log_7x}=x^3+x^2-7x^2-7x+10x+10 \\\ 2^{3\log_7x}-2^{3\log_7x}=x^2(x+1)-7x(x+1)+10(x+1) \\\ (x+1)(x^2-7x+10)=0 \\\ (x+1)(x-2)(x-5)=0 \\\ x_1=-1; \ x_2=2; \ x_3=5$
При подстановке первого корня в исходное уравнение получим отрицательное подлогарифмическое выражение - посторонний корень. Произведение двух других корней равна 2*5=10
Ответ: 10

$\log_{3-x}(11x^2-25x+15-x^3)=3 \\\ 11x^2-25x+15-x^3=(3-x)^3 \\\ 11x^2-25x+15-x^3=27-27x+9x^2-x^3 \\\ 2x^2+2x-12=0 \\\ x^2+x-6=0 \\\ (x+3)(x-2)=0 \\\ x_1=-3; \ x_2=2$
При подстановке второго корня в исходное уравнение получим, что основание равно 1 - посторонний корень
Ответ: -3

$\log_{2x+1}(8x^3-35x^2+52x-35)\cdot\log_{2x-3}(2x+1)=3 \\\ \frac{\log_{2x+1}(8x^3-35x^2+52x-35)}{\log_{2x+1}(2x-3)} =3 \\\ \log_{2x-3}(8x^3-35x^2+52x-35) =3 \\\ 8x^3-35x^2+52x-35=(2x-3)^3 \\\ 8x^3-35x^2+52x-35=8x^3-36x^2+54x-27 \\\ x^2-2x-8=0 \\\ (x-4)(x+2)=0 \\\ x_1=4 ; \ x_2=-2$
При подстановке второго корня в исходное уравнение получим отрицательные основания логарифмов - посторонний корень
Ответ: 4

$\frac{ \sqrt{\log_x(64x^{13})} }{\log_x(64x)} =1 \\\ \sqrt{\log_x(64x^{13})}=\log_x(64x) \\\ \log_x(64x^{13})=(\log_x(64x))^2 \\\ \log_x64+\log_xx^{13}=(\log_x64+\log_xx)^2 \\\ \log_x64+13=(\log_x64+1)^2 \\\ \log_x64+13=\log_x^264+2\log_x64+1 \\\ \log_x^264+\log_x64-12=0 \\\ (\log_x64-3)(\log_x64+4)=0 \\\ \log_x64=3; \ x^3=64; \ x=4 \\\ \log_x64=-4; \ x^{-4}=64; \ x= \frac{1}{2 \sqrt{2} }$
При подстановке второго корня в исходное уравнение получаем противоположные значения слева и справа - посторонний корень, появившийся при возведении левой и правой части иррационального уравнения в квадрат.
$f(x)=\arcsin \frac{x}{4} \\\ f(4)=\arcsin \frac{4}{4} =\arcsin1 = \frac{ \pi }{2}$ </em

Artem112_zn (271k баллов) 19 Март, 18