Вычислить площадь поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнением...

$S _{ox} =2 \pi \int\limits^a_b {y \sqrt{1+(f`(x)) ^{2} } } \, dx$

По условию задачи
$y= \sqrt{8x}, \\ f`(x)= \frac{1}{2 \sqrt{8x} }\cdot8= \frac{2}{ \sqrt{2x} }$

$S _{ox} =2 \pi \int\limits^7_2 { \sqrt{8x}\cdot \sqrt{1+ \frac{4}{2x} } } } \, dx = \\ =2 \pi \int\limits^7_2 {2 \sqrt{2x+4}} \, dx =2 \pi \int\limits^7_2 {(2x+4) ^{ \frac{1}{2} } } \, d(2x +4)= \\ =2 \pi \frac{(2x+4) ^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } | _{2} ^{7} = \frac{4 \pi }{3} (18 ^{ \frac{3}{2} } -8 ^{ \frac{3}{2} }) = \\ =\frac{4 \pi (54 \sqrt{2}-16 \sqrt{2}) }{3} = \frac{152 \pi \sqrt{2} }{3}$