Докажите, что последовательность заданная формулой сn=(3n-1)/(5n+4) монотонно возрастающая и ограниченная. Найдите число к которому стремится сn.
Найдем разность между двумя соседними членами. Из выражения для разности очевидно, что сама разность положительна - числитель и знаменатель положительны. Тогда последовательность возрастающая. Я утверждаю, что все члены не больше 3/5. Действительно, cn < 3n / 5n = 3/5 (я уменьшила знаменатель и увеличила числитель, от этого дробь стала больше). Для успокоения можно всё написать по-честному: 0" alt="\dfrac35-c_n=\dfrac35-\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{(15n+12)-(15n-5)}{25n+20}=\dfrac{17}{25n+20}>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> К слову, удалось доказать, что искомый предел равен 3/5: понятно, что 17/(25n + 20) стремится к нулю при больших n. А по определению число А называется пределом последовательности xn, если |xn - A| стремится к нулю. Найти предел можно было и так: разделим числитель и знаменатель на n
Подставляя значения n=1, 2, ..., n, .... убеждаемся, что последовательность возрастающая. Находим предел (при n стремящемся к бесконечности) lim ((3*n-1)/(5*n+4)) = 3/5 - последовательность ограниченная и стремится к числу 3/5
Как жаль, что подставить все натуральные числа за конечное время не получится :(