X^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x + 1)(x - 2)
Все корни простые, тогда проще всего разложить дробь из подынтегрального выражения на простейшие (простите за три однокоренных слова в одном предложении).
f(x) = (x + 4) / x(x + 1)(x - 2) = A/x + B/(x + 1) + C/(x - 2)
Определим сначала, например, A. Домножим всё на x:
x f(x) = A + xB/(x + 1) + xC/(x - 2)
Подставляя x = 0, находим
A = 4/(1 * (-2)) = -2 (надо всего лишь "закрыть пальцем" множитель x и подставить в то, что осталось, x = 0)
Аналогично "методом пальца" получаем
B = 3/((-1) * (-3)) = 1
C = 6/(2 * 3) = 1
Итак, f(x) = -2/x + 1/(x + 1) + 1/(x - 2). Теперь интеграл легко берется, ответ
C - 2ln|x| + ln|x + 1| + ln|x - 2|