Помогите. пожалуйста, решить уравнение

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Обозначим 1-х=t, -π/2 ≤ -t ≤ 0, тогда 1-π/2 ≤ 1-t ≤1, т.е угол 1-t в IY или в I четверти.
Перепишем данное уравнение в виде:
соs πt+cos 2πt+ cos 3πt=0

Применим формулу суммы косинусов:

$cos \alpha +cos \beta =2 cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{ \alpha - \beta }{2}$

$2cos \frac{ \pi \alpha +3 \pi \alpha }{2} cos \frac{ \pi \alpha -3 \pi \alpha }{2} + cos 2 \pi \alpha =0$

$2cos2 \pi \alpha cos(- \pi \alpha )+cos2 \pi \alpha =0$

$cos2 \pi \alpha (2cos \pi \alpha +1)=0$

$\left \ [ {{cos2 \pi \alpha =0} \atop {2cos \pi \alpha =-1}} \right. \Rightarrow \left \ [ {{2 \pi \alpha = \frac{ \pi }{2} + \pi k} \atop { \pi \alpha =\pm( \pi - \frac{ \pi }{3} )+ 2\pi n}} \right.$
k,n∈Z

$\left \ [ {{ \alpha = \frac{1}{4}+ \frac{k}{2} } \atop { \alpha =\pm \frac{2}{3}+2n }} \right.$

Обратная замена:

$\left \ [ {{1-x= \frac{1}{4}+ \frac{k}{2} } \atop {1-x= \pm\frac{2}{3}+2n }} \right. \Rightarrow \left \{ {{x= \frac{3}{4} }- \frac{k}{2} \atop {x= \frac{1}{3}-2n\bigcup x= \frac{5}{3} -2n }} \right.$

k,n∈Z

Условию    0≤ х ≤ π/2 удовлетворяют

при к=-1 х₁=3/4+1/2=5/4∈[0;π/2];
при к=0 х₂=3/4∈[0;π/2];
при к=1 х₃=3/4-1/2=1/4∈[0;π/2];

при n=0    x₄=1/3 ∈[0;π/2], x₅=5/3∉[0;π/2];
при n=1    x₆=-2/3∉[0;π/2], x₇=-1/3 ∉[0;π/2];
при n=-1 x₈=5/3 ∉[0;π/2], x₉=11/3∉[0;π/2].

Ответ.х=5/4; х=3/4; х=1/4; x=1/3

nafanya2014_zn (414k баллов) 19 Март, 18