Периметр параллелограмма равен 2p, а острый угол равен 30°. Диагональ параллелограмма...

Question

Периметр параллелограмма равен 2p, а острый угол равен 30°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 3:2. Найти площадь параллелограмма.

Answer 1

Параллелограмм АВСД с боковыми сторонами а и основанием b, угол А=30,
диагональ ВД делит угол В на части: углы АВД/ДВС=3/2
Периметр Р=2(а+b)=2р, а+b=р. a=p-b
По свойству параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, поэтому угол В = 180 – 30 = 150°. Так как противоположные углы в параллелограмме равны, имеем угол А = угол С = 30°, угол В = угол D=150°.
 Следовательно угол АВД = 3/5 угла В = 90
угол ДВС = 2/5 угла В = 60
Исходя из этого, получается, что ΔАВД и ΔДВС - прямоугольные (угол АВД=ВДС=90), ВД является еще и высотой параллелограмма h, опущенной на боковую сторону.
h=b*sin 30=b/2
b=a/cos 30=2a/√3
a+2a/√3=p
a=p/(1+2/√3)=p√3/(√3+2)
b=2p/(√3+2)
h=b/2=p/(√3+2)
Формула площади через стороны и высоты параллелограммa
S=ah=p√3/(√3+2)*p/(√3+2)=p²√3/(7+4√3)=p²(7√3-12)

Answer 2

Обозначим один из углов, на которые диагональ делит тупой угол параллелограмма 2α, тогда второй угол равен 3α.
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых (основания параллелограмма) и секущей (диагональ) равны ( см. рисунок)
Поэтому найдем сумму углов треугольника, образованного сторонами и диагональю
30⁰+2α+3α=180⁰,
5α=150⁰,
α=30⁰
Диагональ делит параллелограмм на два прямоугольных треугольника с углами
30⁰,  2α=60⁰, 3α = 90⁰
Обозначим  большую сторону параллелограмма х, тогда вторая сторона равна х√3/2, высота параллелограмма равна диагонали и равна х/2
Периметр:
2·(х+х√3/2)=2р,
х=2р/(2+√3)
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
основание- меньшая сторона, которая равна х√3/2
S=x²√3/4
подставим вместо х найденное значение: 2р/(2+√3)

S=4р²√3/4·(2+√3)²=р²√3/(7+2√3)=р²(7√3-12) кв. ед

---