Помогите пожалуйста решить два уравнения . в ответ надо записать наибольший отрицательный...

0 голосов
30 просмотров

Помогите пожалуйста решить два уравнения . в ответ надо записать наибольший отрицательный корень уравнения,выраженный в градусах
я знаю что сначала надо уравнение поделить на косинус квадрат икс.но у меня там дальше не стыкуется

image
Математика (17 баллов) | 30 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
2sin^2x+(3+2 \sqrt{3})sinx\,cosx+3 \sqrt{3}cos^2x=0;
Для того, чтобы перейти к единой тригонометрической функции, нужно обе части уравнения разделить или на sin²x (получая tg²(x) и tg(x)), или на cos²(x) (получая ctg²(x) и ctg(x)). Допустим, делим на cos(x); при этом возникает ОДЗ: cos(x)≠0.
2tg^2x+(3+2 \sqrt{3})tgx+3 \sqrt{3}=0;
Делаем замену переменной: y=tg(x)    (1)
2y^2+(3+2 \sqrt{3})y+3 \sqrt{3}=0; \\ D=(3+2 \sqrt{3})^2-4*2*3 \sqrt{3}=9+12 \sqrt{3}+12-24 \sqrt{3}=21-12 \sqrt{3}= \\ 9-2*2*3 \sqrt{3}+12=3^2-2*3*2 \sqrt{3}+(2 \sqrt{3})^2=(3-2 \sqrt{3})^2; \\ \sqrt{D}=3-2 \sqrt{3} \\ y_1= \frac{-(3+2 \sqrt{3})-(3-2 \sqrt{3})}{2*2}= \frac{-6}{4}=- \frac{3}{2}; \\ y_2=\frac{-(3+2 \sqrt{3})+(3-2 \sqrt{3})}{2*2}= \frac{-4 \sqrt{3}}{4}=- \sqrt{3};
Подставляем найденные решения в (1) и находим x=arctg(y)
image-arctg( \sqrt{3}) " alt="x_1=arctg(y_1)=arctg(- \frac{3}{2})=-arctg(1.5); \\ x_2=arctg(y_2)=arctg(- \sqrt{3})=-arctg(\sqrt{3}); \\ 1.5^2=2.25 \to -arctg( \sqrt{2.25})>-arctg( \sqrt{3}) " align="absmiddle" class="latex-formula">
Требуется записать наибольший отрицательный корень уравнения, выраженный в градусах. Наибольшим из отрицательных чисел является то, которое по абсолютной величине меньше, т.е. arctg(1.5), но оно не выражается точно в градусной мере. Если сделать предположение, что имелся в виду наибольший по абсолютной величине отрицательный корень, то ввиду наличия периода функции, равного π, он уходит в минус бесконечность. -arctg(1.5) ≈ -56.31 град, -arctg(√3) = -60 град.
По моему мнению, если буквально понимать условие, ответ -56.31 градуса.

3sin^2x+4sinx\,cosx-3=0; \\ 3(1-cos^2x)+4sinx\,cosx-3=0; \ 3-3cos^2x+4sinx\,cosx-3=0; \\ 3cos^2x-4sinx\,cosx=0; \ cosx(3cosx-4sinx)=0; \\ cosx_1=0 \to x_1=arccos(0)\pm \pi k=90^\circ\pm180^\circ*k; \\ 3cosx_2-4sinx_2=0; \ 4sinx_2=3cosx_2; \ 4\frac{sinx_2}{cosx_2}=3; \ tgx_2= \frac{3}{4}; \\ x_2=arctg \frac{3}{4}\pm \pi k \approx 36.87^\circ\pm180^\circ *k
Здесь наибольший отрицательный корень -90 градусов.

(142k баллов)
Похожие задачи