Теорема ФалесаЕсли стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне (см. рисунок)Докажем, что:OA/OA1=AB/AB1=BC/BC1=kДля доказательства построим отрезки AB2, BC2, ..., параллельные стороне OA1 данного угла с вершиной O. Треугольники OAA1, ABB2, BCC2, ..., подобны в силу равенства соответственных углов при параллельных прямых OA1, AB2, BC2, ... и соответственных углов при параллельных прямых AA1, BB1, CC1, ... Отсюда следует:OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=kПоскольку AB2=A1B1, BC2=B1C1, ..., то сформулированное предложение доказано. В частности, если OA=AB =BC, то и OA1=A1B1=B1C1.Следовательно, если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла, то на ней отсекаются также равные отрезки (теорема Фалеса). Обратная теорема ФалесаЕсли на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA1, A1B1, B1C1, ... (OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=k), то прямые AA1, BB1, CC1, ... параллельны.Действительно, на основе предыдущего свойства ряда равных отношений (см. рисунок):OB/OB1=(OA + AB)/(OA1 + A1B1)= OA/OA1Следовательно, треугольники OAA1 и OBB1 гомотетичны и поэтому AA1||BB1. Аналогично AA1||CC1.В частности, если OA = AB = BC и OA1 = A1B1 = B1C1, то прямые AA1, BB1, CC1 параллельны. (Обратная теорема Фалеса