При каких значениях a, b и c уравнение 0,75x^2+(a+b+c)x+a^2+b^2+c^2=0 имеет один корень?...

Распишем дискриминант:
$D= (a+b+c)^{2}-3 a^{2} -3b^{2}-3 c^{2} \\ D=2ab+2bc+2ac-2 a^{2} -2 b^{2} -2 c^{2} \\ D=-(a+c)^{2}-(a+b)^{2}-(b+c)^{2}$
Если квадрат - неотрицательное число, то минус квадрат - неположительное число.
Таким образом, D - сумма трех неположительных чисел -тоже неположителен. То есть либо D=0 (есть 1 корень), либо D<0 (корней нет).<br>Если D=0, то:
$a+b=a+c=b+c=0.$
Отсюда получаем, что $a=b=c=0.$
При любых других a,b,c уравнение не имеет корней вовсе.