Найдите значение выражения)

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\sqrt{7-4 \sqrt{3}} + \sqrt{7+4 \sqrt{3}}$

Способ №1. Представление подкоренного выражения в виде квадрата двучлена.

Упростим: $\sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
Пусть $7-4 \sqrt{3}=(x-y \sqrt{3} )^2$ , x, y - натуральные
Тогда $7-4 \sqrt{3}=(x-y \sqrt{3} )^2=x^2+3y^2-2xy \sqrt{3}$
Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений:
$\left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {2xy=4}} \right. \\ \\ \left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {xy=2}} \right. \\ \\$
Так как числа x, y – натуральные, то получим следующие системы:
$(1)\left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ (2)\left \{ {{x^2+3y^2=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\$
или
$(1)\left \{ {{1^2+3*2^2=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ (2)\left \{ {{2^2+3*1^2=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\ \\ (1)\left \{ {{1+3*4=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ (2)\left \{ {{4+3*1=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\ \\ (1)\left \{ {{1+12=7} \atop {x=1, y=2}} \right. \\ \\ (2)\left \{ {{4+3=7} \atop {x=2, y=1}} \right. \\ \\$
и тем самым только система (2) имеет натуральные решения: x=2, y=1.
Следовательно $7-4 \sqrt{3}=(2-1 \sqrt{3} )^2 \\ \\ \sqrt{7-4 \sqrt{3}} = \sqrt{(2-1 \sqrt{3})^2} =|2- \sqrt{3}|=2- \sqrt{3} \\ \\ \sqrt{7-4 \sqrt{3}} =2- \sqrt{3}$

Также преобразуем $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}$
$7+4 \sqrt{3}=(x+y \sqrt{3})^2=x^2+3y^2+2xy \sqrt{3} \\ x=2, y=1 \\ 7+4 \sqrt{3}=(2+1 \sqrt{3})^2 \\ \sqrt{7+4 \sqrt{3}} = \sqrt{(2+1 \sqrt{3})^2} =|2+ \sqrt{3}|=2+ \sqrt{3} \\ \sqrt{7+4 \sqrt{3}}=2+ \sqrt{3}$

Тогда:
$\sqrt{7-4 \sqrt{3}} + \sqrt{7+4 \sqrt{3}}=2- \sqrt{3} +2+ \sqrt{3} =2+2=4$

Способ №2. Формула сложного радикала.
$\sqrt{a+/-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+/-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}}$

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{7-\sqrt{16*3}}=\sqrt{7-\sqrt{48}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{7+\sqrt{7^2-48}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{7^2-4}}{2}}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{7+\sqrt{1}}{2}}-\sqrt{\frac{7-\sqrt{1}}{2}}}=\sqrt{\frac{8}{2}}-\sqrt{\frac{6}{2}}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+\sqrt{16*3}}=\sqrt{7+\sqrt{48}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{7+\sqrt{7^2-48}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{7^2-48}}{2}}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}}= \\ \\ =\sqrt{\frac{7+\sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{1}}{2}}}=\sqrt{\frac{8}{2}}+\sqrt{\frac{6}{2}}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$

Тогда:
$\sqrt{7-4 \sqrt{3}} + \sqrt{7+4 \sqrt{3}}=2- \sqrt{3} +2+ \sqrt{3} =2+2=4$

АннаАрт_zn (6.3k баллов) 19 Март, 18