Окружность касается сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD соответственно в точках A1, B1, C1 и D1. Найти его стороны, если известно, что отрезки A1C1 и B1D1 перпендикулярны, причем AA1=18, CB1=32, а A1B:D1D=4:1
Тут вся хитрость в том, что угол между хордами равен полусумме дуг между концами хорд. То есть полусумма дуг A1D1 и B1C1 равна 90°; это означает, что ∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°; Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому ∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1; легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°; то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник. Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому ∠A1AO + ∠B1CO = 90°; из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны. Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO; Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и ∠DOC1 = ∠B1BO; Из этого подобия получается два соотношения B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24; BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12; Отсюда стороны ABCD равны AB = 18 + 4*12 = 66; BC = 32 + 4*12 = 80; CD = 32 + 12 = 44; AD = 18 + 12 = 30;