Докажите, что корень из 3 является иррациональным числом.

Докажем обратным путем.
Возьмём, что $\sqrt{3}$ - рациональное число. Тогда его можно будет записать как несократимую дробь $\frac{x}{y}$ (где х и у - целые числа)
Возведём в квадрат обе части: $3= \frac{x^{2}}{y^{2}}$ ⇒ $x^{2} =3 y^{2}$
Отсюда следует, что х² делится на три ⇒ и х делится на три ⇒ х² делится на 9.
Тогда и у² делится на 3 ⇒ у будет делиться на 3.
Получается, что х и у делятся на три, а это противоречит несократимости дроби. ⇒ √3 - иррациональное число.