Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|<1 для всех действительных x таких,...

$P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\$
оценим каждое слагаемое

-1\\\\ " alt="P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1\\\\ " align="absmiddle" class="latex-formula">
положим что
$a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\\\ P(1)=k*a_{k}<1\\\\ a_{k}<\frac{1}{k}\\\\ k\in N\\\\$
видно что $a_{k}<1\\\\$
$P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} \leq$ $2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k}$

0\\\\ D<0\\" alt="a=1\\\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n\\\\\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\\\ D<0\\" align="absmiddle" class="latex-formula">
а так как оценка идет сверху то она и справедлива снизу , верно