Около правильного треугольника АВС со стороной,равной 10 см,описана окружность с центром...

Угол $AOC=\frac{360а}{3}=120а$ , радиус по теореме косинусов
$100=2r^2-2r^2*cos120а\\ 100=2r^2(1-cos120а)\\ r=\sqrt{\frac{100}{2-2cos120а}}=\frac{10}{\sqrt{3}}\\$
Тогда длина дуги $L_{AOC}=\frac{\pi*\frac{10}{\sqrt{3}}*120}{180}=\frac{20\pi}{3\sqrt{3}}$