sinx+sin3x+sin5x+sin7x=0

Сгруппируем слагаемые

(sinx+sin7x)+(sin3x+sin5x)=0

Теперь по формуле суммы синусов заменим произведением

$2sin(\frac{x+7x}{2})*cos(\frac{x-7x}{2})+2sin(\frac{3x+5x}{2})*cos(\frac{3x-5x}{2})=0$

2sinx(8x/2)*cos(-6x/2)+2sin(8x/2)*cos(-2x/2)=0

2sin4x*cos3x+2sin4x*cosx=0

Пояснения: Т.к. косинус-четная функция, то отрицательный угол можем заменить на положительный. Т.е. если было cos(-3х), то это cos3x, если было cos(-x), то это cosx.

Вынесем за скобку общий множитель

2sin4x(cos3x+cosx)=0

По формуле суммы косинусов, заменим произведением

2sin4x*2cos((3x+x)/2)*cos((3x-x)/2)=0

4sin4x*cos(4x/2)*cos(2x/2)=0

4sin4x*cos2x*cosx=0

Теперь пользуемся правилом: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому

sin4x=0 cos2x=0 cosx=0

Решаем по частным формулам

4x=П*k 2x=П/2 +П*k x=П/2 + П*k

x=П/4 *k x=П/4 + П/2 *k

Ответ: x=П/4 *k, x=П/4 + П/2 *k , x=П/2 + П*k