Ряд исследовать на сходимость

$\Sigma \frac{(-1)^{n}n}{n^2+2}$

Cоставим ряд из модулей и исследуем его

$\Sigma \frac{n}{n^2+2},$

Этот ряд сравним с гармоническим расходящимся рядом $\Sigma \frac{n}{n^2}=\Sigma \frac{1}{n}$
По признаку сравнения имеем:

$lim_{n\to \infty}\frac{n}{n^2+2}:\frac{1}{n}=lim\frac{n^2}{n^2+2}=1\ne 0$

Оба ряда расходятся, значит нет абсолютной сходимости.
Проверим на условную сходимость по признаку Лейбница:

a_2>a_3>...\\\\\frac{1}{3} \geq \frac{2}{6}>\frac{3}{11}>\frac{4}{18}>...\\\\2)\; lim_{n\to \infty}a_{n}=0\\\\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n^2+2}=lim\frac{n}{n^2}=\lim\frac{1}{n}=0\\\\(n^2+2\approx n^2\; pri\; n\to \infty)" alt="1)\; a_1>a_2>a_3>...\\\\\frac{1}{3} \geq \frac{2}{6}>\frac{3}{11}>\frac{4}{18}>...\\\\2)\; lim_{n\to \infty}a_{n}=0\\\\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n^2+2}=lim\frac{n}{n^2}=\lim\frac{1}{n}=0\\\\(n^2+2\approx n^2\; pri\; n\to \infty)" align="absmiddle" class="latex-formula">

Признак Лейбница выполняется, оба его условия, значит знакочередующийся ряд сходится условно.

Ряд исследовать ** сходимость