Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 и 16 см вращается вокруг гипотенузы....

Телом вращения будут два конуса с образующими равными катетам прямоугольного треугольника. следовательно вся задача сводится к нахождению площадей боковых поверхностей конусов. формула для их нахождения имеет вид
$S= \pi Rl$
образующие нам известны, но неизвестен радиус основания конусов.
радиус основания будет равен высоте прямоугольного треугольника проведенной из прямого угла.
высоту найдем по формуле $h= \frac{a*b}{c}$
а для этого найдем величину гипотенузы по теореме Пифагора
$c= \sqrt{a^2+b^2}$
$c= \sqrt{12^2+16^2}= \sqrt{400}=20$ см
находим высоту
$h= \frac{12*16}{20}= \frac{192}{20}=9.6$ см
находим площади боковых поверхностей конусов
$S_1=3.14*9.6*12=289.3824$ см²
$S_2=3.14*9.6*16=482.304$ см²
сложим две полученные площади и найдем площадь поверхности тела вращения
289,3824+482,304=771,6864 см²