В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и...

Question 1

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 .

Question 2

перезагрузи страницу если не видно

Question 3

Рассмотрим треугольник $PNM$ .
Так как сторона $NS$ - общая , то $PNS=NSM$ .
Тогда $PS=SM$ , так как $NQ$ биссектриса.
По свойству хорд получаем $22*NS=PS*MS$
$22*NS=MS^2\\$
Воспользуемся теоремой Птолемея , получим
$(PS+22)(2MS)=MQ*PN+NM*44$ так как треугольники $PNQ;MNQ$ равны, то $MQ=PN\\\\ (PS+22)*2MS=88NM\\ 22NS=MS^2\\ NP=NM\\$
откуда получаем
$(PS+MS)(22+\frac{PS*MS}{22})=88*\frac{(PS+MS)MS}{PS} \\ PS*MS=1936-484=1452\\ NS=\frac{1452}{22}=66$

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-18T15:16:22+0000

Рассмотрим треугольник $PNM$ .
Так как сторона $NS$ - общая , то $PNS=NSM$ .
Тогда $PS=SM$ , так как $NQ$ биссектриса.
По свойству хорд получаем $22*NS=PS*MS$
$22*NS=MS^2\\$
Воспользуемся теоремой Птолемея , получим
$(PS+22)(2MS)=MQ*PN+NM*44$ так как треугольники $PNQ;MNQ$ равны, то $MQ=PN\\\\ (PS+22)*2MS=88NM\\ 22NS=MS^2\\ NP=NM\\$
откуда получаем
$(PS+MS)(22+\frac{PS*MS}{22})=88*\frac{(PS+MS)MS}{PS} \\ PS*MS=1936-484=1452\\ NS=\frac{1452}{22}=66$