В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H точка пересечения высот....

Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H точка пересечения высот. Докажите что точки A E D лежат на одной окружности. Докажите что точки A E D C лежат на одной окружности

Answer 1

Опишем окружность вокруг треугольника AEC и окружность вокруг треугольника ADC. Докажем, что эти окружности совпадают и из этого будет следовать, что все четыре точки лежат на одной окружности.

Так как треугольник AEC прямоугольный, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы AC, а радиус равен AC/2. То же самое можно сказать и про треугольник ADC. Получается, 2 окружности имеют равные радиусы и центры в одной точке. Тогда они совпадают, что и требовалось доказать.